《线性声学基本现象》-总第25期
Chapter 10-第十章：管道声学（第四部分）
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在本章中我们将会学习声波在管道中的传播（应用于发动机进气管道、排气管道、空调管道等）。我们首先介绍截止频率（cutoff frequency）的概念，并证明在截止频率以下管道中仅存在平面波传播。随后我们将会涉及平面波在各类管道连接系统中的传播，以及如何使用传递矩阵的方法描述这种传播现象。我们还会学习传递损失和插入损失的概念。
10.5 圆形管道的截止频率
10.5.1 贝塞尔方程和函数
球坐标系中的亥姆霍兹方程式如下：
我们寻求如下形式的解：
而J 一定是如下方程的一个解：
定义 ，其中 。则上式可被写作：
式(10.78)是一个n阶贝塞尔【5】方程。这个方程的解是n阶第一类贝塞尔函数。该函数的定义如下【6】：
第一类贝塞尔函数也可以按如下定义：
图10. 15：贝塞尔函数J0(ξ)，J1(ξ)，J2(ξ)和J3(ξ)的图形
图10.15 表示阶次分别为0、1、2和3的第一类贝塞尔。各阶贝塞尔函数可通过如下的递推关系联系起来：
并且贝塞尔函数的导数是按照以下方法获得的：
10.5.2 截止频率（Cutoff Frequency）
以一半径为R的圆形管道为例。管壁被假设为刚性壁面。声场分布如下：
此声场分布是亥姆霍兹方程的一个解，但只在以下情况下满足边界条件：
称 为函数 的第m个正零点。这些零点被列于表10.16中。换言之，边界条件仅在以下情况下被满足：
表10. 16：函数J0'(ξ)，J1' (ξ)，J2' (ξ)， J3' (ξ)， J4' (ξ) 和J5' (ξ)的正零点
以下两种情形可能会发生：
1.如果 是实数，那么管道横截面上的压力分布 则沿着轴向z传播，且波数为。这种情况在以下条件下会发生：
2.如果频率f低于截止频率fnm， 就是虚数。这使得管道内没有该频率f所对应的传播，所对应的管道模态为消逝模态 (evanescent mode)。
我们应当注意：
平面波的截止频率f00为零，并且在所有频率下传播；
【5】Friedrich Wilhelm Bessel，贝塞尔，德国天文学家和数学家，于1784年出生于明登市，于1846年在柯尼斯堡去世。 贝塞尔由于第一个准确测量恒星距离而闻名。 他在天体力学的背下引入了他的微分方程及其相关函数。
【6】该定义和以下属性假设n是整数（正，负或零）。 贝塞尔函数可以扩展到n为实数的情况。 参考文献，如，Frank Bowman，Introduction to Bessel function Introduction，Dover Publication Inc（1958）。
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发表于 2019-2-19 11:15:58
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