第八章：声波的反射与吸收-3
8.3单极子声源的反射
8.3.1镜像声源（Image source）
在本章前面讨论的声波反射现象可以通过使用镜像声源的方式描述：由于反射面的存在，导致了与入射声源对称的镜像声源的产生，其幅值为p+(ω)R(ω) （图8.6，8.7）。从现象上观察，入射波犹如进入到平面内，而反射波则由镜像声源产生并从平面内射出。
图8. 6：用镜像声源的概念（右图）描述反射现象（左图），入射方向为镜面法向
图8. 7：用镜像声源的概念（右图）描述反射现象（左图），入射方向与镜面不呈法向关系
现在考虑一个位于固壁面S上方，处于位置P点的单极子声源（图8.8a）。根据第六章给出的公式，在自由场中由此单极子声源产生的在声压在Q点的表达式为：
上式中的r为P与Q两点间的距离。显然，自由场的声压解并不适用于存在固壁面S的情况。我们类比上一章节介绍的平面波的情况，在位置P’点对单极子加上一个镜像声源，P与P’相对于壁面S对称（图8.8b）。两个声源在空间中叠加的声压为：
我们可以很容易验证上式的声压结果在S面上的法向速度为零（图8.8c），这是由于原声源与镜像声源分别产生的法向速度在镜面上等值且反向。
图8. 8：固壁面对单极子的反射：通过原声源与镜像声源叠加的方法表示
吸声表面
针对前面讨论的平面波的情况，在吸声表面存在的时，我们依然可以使用镜像声源的描述方式。这里是指吸声面S上具有一定数值的阻抗边界条件。我们可以对镜像声源的幅值现对于原声源的幅值进行缩小（相当于考虑了反射率R）。然而此种描述方式并不适用于点声源在存在吸声表面时的情况。针对点声源，若使用同样的描述方式，会得到如下表达式：
然而我们可以证明如上的声场分布在对称面S上声压与法向速度的比值p/vn（即法向阻抗）并不是固定值。
8.3.2反射图
单个壁面的反射
现在我们考虑一个位于P点的脉冲点声源。图8.9的左半部分显示声源发出的声波以及其镜像声源的声波（去除反射面）；而图的右半部分显示了真实声源在存在反射面时的声波。声波分别在两个时刻到达Q点：
l第一次，真实声源的波前在经历r/c的时间后达到Q点
l第二次，镜像声源的波前在经历r’/c的时间后达到Q点
图8. 9：固壁面对单极子声源的反射。左图：自由场中真实声源与镜像声源的波前；右图：反射面存在时真实声源的波前
直达声与反射声达到Q点的两个时刻之间存在一个时间差。这两个声波达到Q点的幅值也有差别，其比值为r/r’。反射声到达Q点前传播的距离更远，因此其能量也会分布在一个面积更大的波面上。我们可以使用图8.10这样的反射图来表示两个波前达到Q点的时刻与幅值。
图8. 10：单个反射面的反射图
两个垂直壁面的反射
现在考虑一个位于P点的声源，与它临近的是两个相互垂直的壁面S1与S2（图8.11）。为了保证壁面上速度为零，我们需要创建镜像声源P1和P2，而且同时还必须创建第三个声源P12。在S1表面，P声源的速度可以被P1所抵消，但是P2却会在S1表面上产生一个法向分量不为零的速度，这个速度还需要被P12所抵消。我们可以对S2表面上的法向速度分量做类似的分析。因此，由声源P发出的声波达到Q点的结果表现为四个分量的组合（图8.12），与此对应的反射图也显示出四个不同的脉冲信号，它们的幅值逐个递减（图8.13）。图8.14显示了这四个波前到达Q点时的波形。
图8. 11：存在两个相互垂直反射面时的镜像声源
图8. 12：Q点的声场结果由四个不同的分量叠加组成
图8. 13：反射图显示了四个相继出现的脉冲波
图8. 14：在四个时刻t0，t1，t2，t12，四个波前分别达到Q点，上图呈现了这四个时刻空间中的波形
封闭矩形空腔
如果我们再考虑一个二维的矩形空腔（图8.15），对于每一个壁面我们都需要创建真实声源的镜像声源，这些是第一级的镜像声源。接下来，对于每个第一级的镜像声源，我们还需要创建它们对于壁面的镜像声源，这就产生了第二级镜像声源，也就是镜像的镜像。接下来，还需要继续创建第三级、四级的镜像声源，以此类推。最终会产生无限个镜像声源，对应于反射图上无限个脉冲波（图8.21）。
图8. 15：对应于封闭矩形腔体（二维）的镜像声源
8.3.3声线法（Ray tracing method）
镜像声源的方法对于矩形腔体很实用。然而，若腔体的形状较为复杂，就需要想办法让每个镜像声源只能在一个固定的角度范围能辐射声波。这就使得镜像声源的方法变得非常复杂，失去可操作性。在建筑声学中分析室内的声场时，有时会使用声线法，此方法可以避免上述的问题。
从图8.16中我们可以看出，单极子声源产生的波前在被反射前与反射后的角度遵循笛卡尔法则。
图8. 16：点声源波前的法方向在反射前后的角度遵循笛卡尔法则
如果我们取单极子声源波面上极小的一个表面，那么这个表面类似平面波的波面。图8.17也显示出了一对相互垂直的壁面对点声源的反射现象可以使用反射声线的方法分析。因此前面反射图8.13中的四个脉冲波对应于四个路径：P-Q，P-(2)-Q，P-(3)-Q，P-(4a)-(4b)-Q。
图8. 17：镜像声源可以用声线的方法进行分析
对于更一般的情况，声线法的使用基于如下步骤：
1. 首先定义声源的位置与接收点的位置。也可定义一个区域作为接收区域，这时可以定义多个在此区域内的接收点；
2. 为每个壁面赋予一种材料及吸声系数α，实际状况中可以在不同的倍频程中为吸声系数定义不同的取值；
3. 用相当多数量的声线（一般取数万个声线）来表示并替代声源。这些声线在空间上的角度平均分布，且每个声线仅携带一小部分原声源的能量。可以让各个声线携带的能量平均分布，当然也可以用非平均分布能量的方式为原声源赋予一定的空间指向性；
4. 每个声线的的镜面反射路径均被追踪和记录（图8.18）
5. 当某声线路过接收位置时，便在反射图上记录一个脉冲信号：
l信号达到的时间为声线传播的总距离（r）除上声速（c）
l此次声线达到接收点时的能量为声线本身的能量被如下三个因素衰减后的结果
- 衰减系数1/r2，这是由于球面波形随传播距离产生的衰减。传播距离越远，波面的面积越大，因此固定面积上的能量也越小
- 此声线在达到接收点前遇到的所有壁面的反射系数(1-α)的乘积
- 系数e-γr用来表示声波在传播过程中介质对其能量的衰减
6. 于是我们就可以得到接收点的反射图（图8.21）。而且，如果接收点的个数足够多，我们还可以得到声场的空间分布云图（图8.20）。
使用声线法需要注意以下几点：
1. 使用面积较小的接收区域可以提高声场的空间分辨率。
2. 经典的声线法忽略了声线之间的相关关系，因此声线间存在任意的相位关系。然而在真实情况中，声线的相关关系总是存在的，尤其是在前若干次反射过程中。更复杂一些的声线法可以考虑到声线间相关关系的存在，然而此时必须用声阻抗（而不是吸声系数）来描述材料的吸声。
3. 真实材料对声波的反射既包含镜面反射部分（遵循笛卡尔法则），又包含扩散反射（diffuse reflection）部分。在低频区域（此频率下波长远大于不规则形状的特征尺度），镜面反射占主要部分。随着频率的升高，扩散声波部分的占比逐渐增大。在声线法中，可以通过将入射波能量的一部分反射到一些随机选取方向上的方法来表示扩散声波的产生。
4. 当声线的能量衰减达到一个提前预设的百分比η时，对声线的追踪即可结束。声线余下的能量随即被分配到反射图尾侧的部分。此时，声场演变为扩散声场（diffuse sound field）。在扩散声场中，声波在所有方向上的传播具有相同的概率。
图8. 18：L型空腔中的声线路径
图8. 19：音乐厅中的声线路径
图8. 20：音乐厅中的声压级（SPL）云图
图8. 21：使用声线法计算得到的音乐厅内的反射图
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