本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:24 编辑
有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍本征模式问题、本征频率问题、散射问题、传输问题、波束包络技术等几种常见光学问题的有限元算法，今天我们为大家介绍第一种--本征模式问题
光学本征模式问题是研究光在波导中的传播特性和行为的一个重要问题。光学波导是通过将折射率不同的材料堆叠在一起构成的，可以将光束束缚在其核心区域内传播。光学本征模式问题的目标是找到在给定波导中存在的能量稳定且传播损耗最小的光的解，即本征模式。本征模式具有特定的传播常数、模式场分布和传输特性。这些模式的特性直接影响着波导的传输性能和相关光学器件的设计和性能。光学本征模式问题对于设计和优化光学器件、光通信系统和光学传感器等具有重要意义。通过研究本征模式，可以确定波导的传输特性、耦合效率和损耗等性能指标，进而实现更高效和可靠的光学器件和系统。 器件的本征模场E(x,y,z)满足矢量波动方程：
其中μr为相对磁导率，为相对介电常数，k0为真空波数。 电场横纵分量可以分离，写成如下形式：
其中γ=α+jβ为复传播常数，α 和β 分别为复传播常数的实部和虚部，Et 为电场横向分量，Ez 为电场纵向分量。为了方便有限元求解波导本征模式，采用变量替换，使et = γEt。ez = Ez 电场横向分量et和纵向分量分别采用矢量基和标量基展开：
其中角标表示数值电场，αj(x,y)为矢量基函数，采用第一类Nédélec元，为矢量基函数对应系数，αj(x,y)为标量基函数，采用Lagrange元，为标量基函数对应系数。利用有限元法处理公式1.1可以得到如下弱形式：
其中 ， ， ，，角标(e)为网格单元。将本征方程简写为 [ A ] { x } = λ [ B ] { x }，其中，，。求解本征方程即可得到本征模式和有效折射率。
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发表于 2023-11-23 15:17:38
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