常见光学问题的有限元算法(2)--本征频率问题
本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:24 编辑有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍本征模式问题、本征频率问题、散射问题、传输问题、波束包络技术等几种常见光学问题的有限元算法，今天我们为大家介绍第二种--本征频率问题
光学谐振腔是一种能够将光束局限在特定空间范围内的光学设备。它由两个高反射率的反射镜构成，形成一个封闭的腔体。当光线进入谐振腔时，它会被反射镜多次反射，形成一个驻波模式。在光学谐振腔中，不同的局限模式对应着不同的本征频率。本征频率是指对应于谐振腔中电磁波的驻波模式的频率。它取决于谐振腔的几何尺寸和材料的折射率。对于一个简单的光学谐振腔，其本征频率可以通过求解谐振腔内部的电磁波方程得到。典型的方程是腔内的Maxwell方程和边界条件，在一些简化的情况下，如在二维或三维空间中具有特定几何形状的腔体，可以通过分析模式解来得到。常见的光学谐振腔包括Fabry-Perot腔、微腔和光纤腔等。每种腔体都有不同的本征频率和模式。光学谐振腔的本征频率问题在光学应用中具有重要意义。通过调节腔体的尺寸和其他参数，可以选择特定的本征频率来满足特定的光学需求，比如用于激光器、光学传感器和光学通信系统等。 本征频率问题中通常令γ=0，此时本征模式问题便退化为本征频率问题：
其中 https://forum.simwe.com/data/attachment/forum/202311/22/171711sg5q53gmlszm99s3.png ， https://forum.simwe.com/data/attachment/forum/202311/22/171745a3py2vnr3vnnxgvx.png ， https://forum.simwe.com/data/attachment/forum/202311/22/171831bak73yy732sjk77a.png ， https://forum.simwe.com/data/attachment/forum/202311/22/172016ep34x1yaz848diyo.png ，，将本征方程简写为 [ A ] { x } = λ [ B ] { x }，其中，， https://forum.simwe.com/data/attachment/forum/202311/22/172454ei3a2r33y45d535e.png 。求解本征方程即可得到本征模式和本征频率。
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