常见光学问题的有限元算法(3)--散射问题
本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:24 编辑有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍本征模式问题、本征频率问题、散射问题、传输问题、波束包络技术等几种常见光学问题的有限元算法，今天我们为大家介绍第三种--散射问题
光学器件散射场求解问题是指如何计算和预测光学器件中发生的散射场分布。它涉及到通过数值模拟或解析方法求解Maxwell方程以及边界条件来获取散射场的信息。在光学中，Maxwell方程是描述电磁场在空间中传播和相互作用的基本方程。通过求解Maxwell方程，可以得到光在器件内的传播路径以及与器件材料的相互作用。对于散射问题，需要考虑材料表面的边界条件，以确定入射光与器件的散射响应。光学器件散射场求解问题对于光学器件的设计和优化具有重要意义。通过计算和预测器件中的散射场分布，可以评估器件性能、改善器件效率，并指导实际器件的制备和优化。 首先考虑最简单的标量场情况，即电场仅有Ez分量： 其中，即电场由散射场和背景场两部分组成，并且其中得背景场作为输入条件已知。经过有限元方法处理得到：
最终可得到线性矩阵形式：
其中, , , 。求解该线性方程组即可得到散射场，进而可以得到总电场。
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