本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:25 编辑
有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍本征模式问题、本征频率问题、散射问题、传输问题、波束包络技术等几种常见光学问题的有限元算法，今天我们为大家介绍第四种--传输问题
光学硅基波导是一种用于在光子器件中传输和控制光信号的关键元件。在计算光学硅基波导传输问题时，常用的方法是基于电磁波的麦克斯韦方程和波动光学的原理。通过求解波导的模式方程，可以得到波导的传输特性，包括模式的传输损耗、模场分布和模式的色散特性等。对于计算光学硅基波导传输问题，需要确定波导的几何结构（如波导的尺寸、层次结构等）和光学特性（如折射率分布、材料衰减等）。然后利用有限元法求解模式方程，得到波导的传输特性。该计算问题涉及到波导的设计优化、互连传输、损耗分析等领域，在实际器件设计中具有重要应用。
传输问题中阻抗参数、散射矩阵等紧凑模型参数的提取，结合平面波导模型与超限单元法分析光电芯片器件。平面波导模型是将三维光电器件转为二维等效平面波导模型，利用等效平面波导的有效尺寸和材料特性代替器件的实际尺寸和材料特性，再通过二维分析实现高效求解。 N 端口网络中 N 个端口间反射波 和入射波 之间的线性关系可以写为，其中即为散射矩阵，用于描述此端口网络特性。超限单元法将端口处的场分布根据波导的本征模近似展开，为第i个端口的第j个模式，为模式对应的系数。每个本征模式作为端口面的基函数，通过端口的二维本征模式求解，得到准确的散射矩阵。超限单元法求解传输问题的优势是精度高、速度快，在即使网格质量较低的情况下也可以得到高精度的散射矩阵结果。即需要先计算端口截面结构得本征模式，然后将本征模式作为输入计算整个器件中的光场分布。
传输问题中物理场组如下：
其中Ω为整个计算区域，Γ1为入射端口，Γ2为出射端口，Γ3其他边界。为端口1电场，由入射和反射两部分组成，和为入射端口本征模式，由入射功率绝对，为待求量。为端口2电场，由出射组成，为出射端口的本征模式，为待求量。利用有限元法处理物理方程组可得弱形式：
进一步处理可得到：
可写成矩阵形式：
其中，，，，，，，，。求解该方程组即可得到整个区域的光场分布，进而可以计算散射矩阵和阻抗矩阵参数。 | 
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发表于 2023-11-23 18:41:49
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