本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:27 编辑
有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍几种创新有限元算法，今天我们为大家介绍--基于空间点群的布洛赫边界条件(1)--旋转布洛赫边界条件
针对光子器件的本征问题求解，本课题提出基于点群的布洛赫边界条件。分别研究了点群中旋转对称性cn和镜面对称性σ，并利用这两种对称性可以采用更小计算区域求解微纳光子器件的本征模式，这将极大提高求解效率，减少占用内存。利用旋转对称性，本课题提出了旋转布洛赫边界条件，可以将计算区域缩减至原来的。
若，具有cn对称性，即，，其中，r , Φ , z为柱坐标系下坐标。由群论有，即
其中cn为Cn群包含的旋转对称性,为旋转对称性对应的算符，为旋转对称性对应的特征标。需要注意的是，公式（1.1）电场E为柱坐标系。Cn群中，取，其中0≤m＜n且m为整数。公式（1.1）构建起了Φ⊆[0,Λ]区域内电场和整个区域电场的关系，仅需知道Φ⊆[0,Λ]范围内的电场，即可知道整个区域内的电场，因此本征模场的分析区域也可缩减为周期单元。将公式（1.1）用于有限元模式分析时，需要计算m从0到n所有情况才能得到完整本征模式。
图 1 旋转布洛赫边界施加示意图
旋转布洛赫边界条件施加如图1所示，用xs ={xs,k}表示源边界边上待求系数，xd ={xd,k}表示目标边界边上待求系数，xo ={xo,k}表示其他待求系数，角标s/d代表Γs/Γd边界，未知系数可以是标量基函数系数也可以是矢量基函数系数,k为基函数系数编号。顶点系数xo,z,1 作为其他待求系数处理。旋转布洛赫边界条件施加的两条边Γs和Γd上的网格节点坐标一一对应，即(rs,Φs+Λ)=(rd,Φd)时，由基函数性质可得，因此有：
其中Is、ID、IO为单位矩阵，角标S/D/O代表源边界系数/目标边界系数/其他系数的维度。可简写为，其中,,。由,本征方程可写成：
其中✝为复共轭算符。至此，微纳光子器件的本征模式的有限元计算区域变为原来1/n。
图 2 二维光子晶体光纤计算区域
为了验证本方法的正确性，通过二维光子晶体光纤模式分析算例进行验证。二维光子晶体光纤模态分析时波长λ设置为1550nm，几何结构如图2所示，光纤半径为5.5a，空气孔半径为0.3a，间隔为a，a=1550nm，外围空气圆环的环宽为2λ，二氧化硅的折射率设置为1.45，边界条件为完美电导体。C6群特征标表如表格1所示，，m取0~5之间的整数。由特征标表的E’和E''表示可以知道模态存在二重简并。此外，由特征标表可知当m1+m2=6，X(R)分别取、时计算的模态一定是简并的。 表格 1 C6群特征标表
常规有限元（NBC-FEM）的网格总数为62604，采用旋转布洛赫边界有限元（RBBC-FEM）的网格总数为10415，计算48个本征模式。使用COMSOL进行本征模式计算，NBC-FEM和RBBC-FEM分别代表常规方法和本方法，计算结果如表格2所示。第一列为RBBC-FEM结果，第二列为NBC-FEM结果。第二行为自由度，RBBC-FEM所需自由度仅为常规FEM的1/6。第三行为占用内存，RBBC-FEM占用更少的内存。第四行为计算时间，旋转布洛赫边界条件极大减小计算区域，使RBBC-FEM计算时间仅为NBC-FEM的1/3。第五行为模态的有效折射率，这里仅列出33个模态的有效折射率。可以看到，RBBC-FEM和NBC-FEM计算出的有效折射率误差在0.3％以内。有效折射率1.3954对应的模态有效折射率误差相对较大，其他模态的有效折射率一致，这是因为对RBBC-FEM来说该模态电场强度主要集中在尖端而导致的奇异性，因此在实际使用旋转布洛赫边界条件时需要适当增加尖端处网格密度。此外，通过有效折射率及电场强度分布对比，可以看到m=1和m=5计算出的模态简并，m=2和m=4计算出的模态简并，这和由特征标表的分析一致。除了二重简并外，其他高阶简并模式RBBC-FEM也能准确计算出。
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发表于 2023-11-24 17:43:05
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