创新有限元算法(2)--旋转镜面布洛赫边界条件
本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:27 编辑有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍几种创新有限元算法，今天我们为大家介绍--基于空间点群的布洛赫边界条件(2)--旋转镜面布洛赫边界条件
针对光子器件的本征问题求解，本课题提出基于点群的布洛赫边界条件。分别研究了点群中旋转对称性cn和镜面对称性σ，并利用这两种对称性可以采用更小计算区域求解微纳光子器件的本征模式，这将极大提高求解效率，减少占用内存。利用旋转对称性，本课题提出了旋转布洛赫边界条件，可以将计算区域缩减至原来的 https://forum.simwe.com/data/attachment/forum/202311/24/093516sc838qxadc8rn2vv.png 。利用旋转对称性和镜面对称性，本课题提出了旋转镜面布洛赫边界条件，可以将计算区域缩减至原来的。
图 1 旋转镜像对称二维微纳光子器件结构示意图
考虑如图1所示Cn,v 结构的微纳光子器件，其中完整计算区域为D，利用旋转布洛赫边界条件计算区域为Dn，S1为旋转对称轴，S0为镜面对称轴。同时利用旋转对称和镜面对称可以将计算区域缩减为Dn,v 。由群论有，即
其中σ为镜面对称，Pσ为镜面对称对应的算符，X (σ)为镜面对称对应的特征标,*表示共轭算符。X (σ)只能取1或-1。当X (σ)取1时，在边界S0上有，有Er=Er , Ei=-Ei，其中Er为电场E 的实部，Ei为电场E 的虚部。即在S0 边界上电场实部为完美磁导体边界条件(PMC)，电场虚部为完美电导体边界条件(PEC)。在边界S1上，即有。当X (σ)取-1时，在边界S0上有，有Er=-Er , Ei=Ei，即在S0边界上电场实部为PEC，电场虚部为PMC。在边界S1上，即有。
当材料参数∈r 和μr 为实数或者为厄米矩阵时，本征方程求解出的本征值为实数。将待求未知量{x}拆分为实部{xr}和虚部{xi}时，本征方程可以改写为：
其中Ar/Ai为矩阵A 的实/虚部，Br/Bi为矩阵B 的实部/虚部。当X (σ)=1时，，其中/代表内部未知系数的实部/虚部，/代表So 边界上未知系数的实部/虚部，/代表S1边界上未知系数的实部和虚部。当X (σ)=-1时，。此时可以在边界So/S1上像旋转布洛赫边界条件一样施加旋转镜像布洛赫边界条件。
图 2 二维光子晶体光纤计算区域及模场分布
为了验证该方法的正确性，依旧通过二维光子晶体光纤模式分析算例进行验证。几何结构及模场结果如图2所示，光子晶体光纤参数和上文中相同。图2a为常规有限元计算区域，图2c为使用旋转镜像边界条件的计算区域，图2b和d为对应方法计算得到的模场分布，有效折射率均为1.341，模场进行了归一化处理。常规有限元自由度为433077，占用内存2.97GB，求解时间28s。本方法自由度为24270，占用内存1.26GB，求解时间2s。可以看到，本方法相较常规有限元，在保证计算精度的情况下极大得提高了求解效率。
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