创新有限元算法(4)--非波矢群布洛赫边界条件
本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:28 编辑有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍几种创新有限元算法，今天我们为大家介绍--基于简单空间群的布洛赫边界条件(2)--非波矢群布洛赫边界条件
针对周期结构微纳光子器件的本征问题求解，本课题提出基于简单空间的布洛赫边界条件。分别研究了简单空间的波矢群和非波矢群，并提出了波矢群布洛赫边界条件和非波矢群布洛赫边界条件。和基于点群的布洛赫边界条件类似，简单空间群的布洛赫边界条件同样可以缩减计算区域，提高求解效率。
考虑一个结构为简单空间群{R|Rn}的光子晶体，波函数具有布洛赫函数形式，即。当C2∈R时，由群论知：
其中为旋转对称C2对应的算符，X(C2)为旋转对称C2对应的特征标。同样，将作用在波函数上：
将布洛赫函数形式及公式（1.1）带入公式（1.2）得，即
其中为波函数实部，为波函数虚部。利用公式（1.3）可以将计算区域减半，且对波矢k没有任何要求，只需要光子晶体具有C2对称即可。
图 1 非波矢群布洛赫边界条件施加示意图
以图1所示结构具体考虑，D为使用布洛赫边界条件时计算区域，DR为该方法计算区域。将有限元未知量μ重组为左上、右上、旋转轴左、旋转轴右、上左、上右、下左和内部几个部分，用角标表示，区域DR边界由 LT , RT , RL , RR , TL , TR 六部分构成。由布洛赫边界条件有。利用本文条件有：。将布洛赫边界条件和本章条件结合可得：
非波矢群布洛赫边界条件施加方法同旋转布洛赫边界条件。
图 2 二维光子晶体计算区域及模场分布
通过二维光子晶体实例验证本方法的有效性，结构如图2a所示，格式，a=1m，椭圆介质长轴为0.3m，短轴为0.2m，相对介电常数∈r=12，相对磁导率μr=1。同时图2a为常规有限元计算区域，图2c为本方法计算区域，图2b和图2d分别为常规有限元和本方法计算得到模场分布，模场进行了归一化处理，波矢。常规有限元网格数为3344，求解时间1.3s，本征频率为2.1452E8，而本方法网格数为1410，求解时间0.3s，本征频率为2.145E8。本方法和常规有限元计算模场一致，本征频率计算误差为0.93‱，而网格数和求解时间却大幅减少。通过本算例，能够证明本算法在减少计算区域，提高求解效率同时能够保证计算结果的正确性。
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