本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:28 编辑
有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍几种创新有限元算法，今天我们为大家介绍--光子器件散射多极边界条件及快速多极子提取
电磁多极子是由向量球谐函数表征的，在光场扩展方面构成了完整的基础，并在光学和光子学的各个领域中发挥着不可或缺的作用。这些多极子已经得到广泛的研究，它们的一般特征，如辐射图案、极化分布、远场偶极性等，已经被充分地用于各种应用中。这其中一个相当突出的例子是元光学领域，该领域主要构建在不同阶数的电磁多极子和磁性多极子上，其干涉效应可以为线性和非线性状况下的光与物质的相互作用提供极大的额外自由度。而目前电磁多极子提取需要先采用数值方法计算出散射场，再使用多极子展开法求出多极子系数。此外，针对复杂结构微纳光子器件散射场的多极子系数提取目前没有直接且简洁的计算方法，而本章提出了多极边界条件，能够直接计算出散射场多极子系数。如图1所示，使用电磁多极子Ni(r,θ)和Mi(r,θ)作为基函数展开开放空间的光场变量，即为E(r)=∑imiMi(r,θ)+∑iniNi(r,θ)形式。再结合边界连续性条件，确定电磁多极子展开系数。
图 1 多极边界条件原理图 以二维微纳光子器件散射问题为例，对应的标量波动方程为：
其中Ez为总场，μr为二维结构的相对磁导率，∈r 为二维结构的相对介电常数，k0为真空波数，。选取任意连续的测试函数W与公式(1.1)相乘并在计算区域D内曲面积分得到。使用第一标量格林公式,δD为面积分区域D的边界，逆时针方向，n为边界单位外法向量。μ取为，a取为W，b取为Ez，得到。将总场写成由入射场和散射场之和的形式并带入上式，其中为散射场，为入射场，可得到： 有限元求解区域内的散射场用表示，外部区域散射场用表示。利用磁场边界连续性条件，公式（1.2）可化为
同样，对电场边界条件选取任意连续的测试函数Wk相乘并在边界δD上做曲线积分：
其中为边界δD单位外法向量，。区域D采用有限元法处理，同本征问题类似，散射场使用基函数展开。不同的是，外部区域散射场使用电多极子展开，，为电多极子，其中k为波数，Zm(kr)为汉克尔函数，m为阶数，r为柱坐标下半径，Φ为柱坐标系下夹角，j取-k到k整数，k为选取的任意整数，用于决定多极子数目。EzMNj为电多极子对应的系数。使用Galerkin法，则公式（1.3）和公式（1.4）变为：
再将、、W、Wk以基函数展开式和多极子展开式的形式带入上式，可得最终求解线性方程矩阵：
其中为未知量系数，电多极子系数，，，，, 。求解即可得到电多极子系数和散射场分布。 图 2 散射问题物理模型
通过一个二维散射球实例验证本方法的正确性。散射球结构如图2所示，求解波长为λ,散射体半径为λ/2,背景场为，k0为真空波数。多极子系数计算结果如图3所示，横坐标为多极子阶数，纵坐标为多极子系数幅值，采用对数坐标。其中星形为本方法计算得到多极子系数，空心圆为数值方法结合多极子展开法计算得到的多极子系数。可以看到本方法可以高效精确地计算出散射场的多极子系数。
图 3 多极子系数计算结果 | 
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发表于 2023-11-26 10:44:42
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