本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:28 编辑
有限元是一种数值计算的方法，通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解，由于子区域的数目是有限的，故称之为有限元方法。在有限元被发明之前，所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案，如果结构稍微变得复杂些，计算解析解就显得力不从心，而对于很多结构，解析解甚至不存在。在早期，市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年， A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别，但他们都使用了同一个思想，就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子，类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出，还要再晚些。到了20世纪60年代初，它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展，它的理论和算法都日趋完善。起初，有限元方法主要是解决力学方面的问题，例如汽缸扭转问题。到后来，随着计算机性能的飞速提升，有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟（机械制造，土木建筑，材料加工等等）。到现在，从汽车到航天飞机，几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。
接下来我们将介绍几种创新有限元算法，今天我们为大家介绍--波束有限元
针对多尺度问题，借鉴区域分解思路，本课题将波束包络技术和有限元相结合，提出波束有限元。波束包络技术本质上是一种多尺度基函数，在其他领域该方法已经被广泛研究。波束有限元能够在不同区域采用不同的基函数，除了多项式基函数外，我们还使用带相位因子项的波束基函数来进行插值。波束基函数分为两类，一类为单波束，即一个区域只存在一个波矢方向，另一类为双波束，即一个区域可以存在两个波矢方向。因此，波束有限元同时使用了三种基函数：多项式基函数，单波束基函数，双波束基函数。此外，由于采用不同基函数区域边界上需要使用混合边界条件耦合，因此本课题还研究了多项式区域-单波束区域耦合和多项式区域-双波束区域耦合。有限元在计算大尺度问题时存在色散误差，即求解的电场相位存在漂移，并且随着仿真区域增加色散误差越大，因此波束有限元的多项式基函数至少为二阶。下文将讲述实现技术细节。 矢量波动方程为，可以得到弱形式：
其中E为电场，W测试函数。采用多项式基函数时，E=ΣejNj，W取Ni，ej是基函数系数，Nj/Ni为多项式基函数。采用单波束基函数时，，W取。采用双波束基函数时，，W取和。不同基函数需要边界处需要使用混合边界条件耦合，即
其中角标分别表示不同基函数的两个区域。分别使用两个区域测试函数测试，即：
公式（1.2）和公式（1.3）结合，即可得到最终系统方程：
其中Aaa/Abb为区域a/b弱形式项，Aab/Aab为两个区域耦合项，babb为区域a/b的源项，{ej,a}/{ej,b}为区域a/b未知数系数。
图 1 光束传播结构示意图
通过如图1所示光束传播示意图验证本算法的正确性。光束从左下方入射，经过两个反射镜垂直入射菲涅尔透镜，并最终聚焦在光屏上。仿真结果如图2所示，其中图2a为COMSOL全波仿真结果，图2b为本文方法计算结果，图2c为光屏上本方法和COMSOL全波仿真的电场强度对比。全波仿真网格数为902682，自由度为1808181，计算时间为36s。本文方法网格数位184252，自由度位370750，计算时间为3.7s。可以看到，本方法相较常规有限元提高了求解时间，减少了占用内存，并且能够保证计算精度。
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发表于 2023-11-26 15:03:16
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